Dago:Numérico:Prova20122-A1

__MATHJAX_DOLLAR__

1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.

1. Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?
2. Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina.
3. Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina.
4. Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro?

2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.

1. Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina.
2. Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta.
3. Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada?
4. A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina?

3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sin(x)$ e $h(x)=x^2-1$.

1. Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$.
2. Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta.

4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.

1. Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sin(x)-x^2=-1$.
2. Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima.
3. O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.

5. (15 pontos) Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sin(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.

6. (20 pontos) Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.

1. As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq 1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?
2. Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?
3. Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas?
4. Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas?

Solução

1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.

1. Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?

   $E_{MIN}=(00001)_2= -7$ e $E_{MAX}=(11110)_2=22$

2. Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina.

   $1.01001 * 2^{2}= (0|01010|01001)$

3. Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina.

   $h=1.00000 \times 2^(-3)= (0|00101|00000)$

4. Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro?

   $\{0.25, 3, 1024, 2048, 4096 \}$

2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.

1. Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina.

   $f(1.000\times 10^{-5})=1.000 \times 10^{-10}$ e $f(1.001\times 10^{0})=1.000\times 10^{-3}$

2. Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta.

   Para $x$ próximo de 1, $|x-1|<tol$, ou seja $ 1-tol<x<1+tol$

3. Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada?

   $|\frac{2-3x}{1-x}|>C$, quando $x \approx 1$.

4. A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina?

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3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sin(x)$ e $h(x)=x^2-1$.

1. Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$.

   $[-1,0]$

2. Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta.

   $x\approx -0.4375$ com $|erro|\approx 0.0625$

4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.

1. Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sin(x)-x^2=-1$.

   Ex.: $g(x)=\sqrt(2 \sin(x)+1$

2. Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima.

   Com esta $g$, e $x_0=1$, temos $x_3 \approx 1.036166481$

3. O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.

   Sim, pois $|g'(x_3)|<1$.

5. (15 pontos) Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sin(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.

1. $x\approx 0.423028...$

6. (20 pontos) Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.

1. As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq 1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?

   $-2 \leq c \leq 2$

2. Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?

   $c=-14$

3. Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas?

   $d<0$

4. Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas?

   Para qualquer $d$.