Dago:Numérico:Lista 2

Lista de Exercícios 2a

MAT 01169 - Cálculo Numérico

Prof. Dagoberto Adriano Rizzotto Justo

Instruções gerais para a lista: Considere o número de iterações máximas igual a $kmax=10$ e tolerância $tol=10^{-3}$ e as seguintes matrizes para os próximos exercícios:

A = \matddd{1}{2}{3}{4}{1}{2}{0}{1}{3} ,  I = \matddd{1}{0}{0}{0}{1}{0}{0}{0}{1} ,
C = \matddd{4}{3}{1}{-2}{1}{2}{1}{-1}{-1} ,  d =  \vetddd{2}{1}{-1} ,  b = \vetddd{6}{7}{4} \]

1. Resolva o sistema $A x =b$ usando fatoração LU com e sem pivotamento parcial.
2. Resolva o sistema $ Ax=b$ utilizando os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com uma tolerância de $10^{-2}$ e um máximo de 10 iterações. Calcule em cada iteração $k$ o resíduo $r¸=b-Ax¸$ e a norma-$œ$ do resíduo. O que se pode concluir?
3. Calcule:
   1. <math>\|b\|_1,\|b\|_2,\|b\|_3,\|b\|_{\infty}</math>
   2. <math>\|A\|_1,\|A\|_{\infty},\kappa_1(A)=\|A\|\|A^{-1}\|_1,\kappa_\infty(A)=\|A\|_\infty\|A^{-1}\|</math>
4. Seja <math>u,v,b,x\in\R^n,A\in\R^{n\times n}</math>. Considerando que o custo de uma operação de multiplicação ou divisão é um $flop$ (floating operation) e que adições e subtrações tem um custo desprezível se comparados a esse custo, calcule o \textbf{custo} das seguintes operações:

\begin{enumerate}
  \item Calcular o produto escalar $u · v = €_{i=1}— u‚v‚$;
  \item Multiplicação matriz-vetor $u = A b$;
  \item Calcular a norma-$2$ de um vetor $†x†= „…{€_{i=1}— x‚²}$, onde o custo de calcular uma raiz é de $2$ flops.
  \item Custo para resolver um sistema triangular inferior por substituição;
  \item Custo para resolver um sistema triangular superior por retro-substituição;
  \item Custo da fatoração $LU$;
  \item Custo para resolver um sistema usando fatoração $LU$;
  \item Custo para resolver $n$ sistemas diferentes usando fatoração $LU$;
  \item Custo para calcular $Aˆ$, via resolução de $n$ sistemas;
  \item Custo para calcular a norma de Frobenius $†A†_F = „…{€_{i=1}— €_{j=1}— a²–}$.
\end{enumerate}

\item Dê as seguintes definições: \begin{enumerate}

 \item Norma vetorial;
 \item Número de condição de uma matriz $æ(A)$;
 \item Matriz mal-condicionada e bem-condicionada;
 \item Determinante normalizado da matriz $norm |A|$;
 \item Uma matriz diagonal dominante; dê exemplos.

\end{enumerate}

\item Qual a condição para que o método iterativo $x¸ = (I - Q ˆA)x_{k-1} + Qˆb$ seja convergente?

\item Defina o método de refinamento iterativo. Qual a condição para o método de refinamento iterativo convergir?

\item Descreva o método de Jacobi. Como ele pode ser representado matricialmente? Qual a condição para que o método de Jacobi seja convergente?

\item Descreva o método de Gauss-Seidel. Como ele pode ser representado matricialmente? Qual a condição para que o método de Gauss-Seidel

seja convergente?

\item Para a matriz $A$ no começo dessa lista, descreva e represente graficamente os discos de Gershgorin. Calcule os autovalores e represente-os no mesmo gráfico. O que se pode concluir?

\item Repita o exercício anterior para a matriz $C$.

\item Escolha uma matriz rândomica com $5 ×5$ elementos. Represente graficamente os discos de Gershgorin. Se puder, usando MATLAB ou sua calculadora, calcule os autovalores e represente-os graficamente.

\item Explique por que nâo devemos usar o cálculo de autovalores via determinantes, do ponto de vista numérico. Um gráfico poderia ajudar na explicação.

\item Defina quociente de Rayleigh.

\item Descreva o método da potência, como ele funciona e para que serve. Quando este método nâo funciona?

\item Calcule via método da potência o maior autovalor de $A$.

\item Calcule via método da potência o maior autovalor de $C$.

\item Considere a matriz $A$. Usando os discos de Gershgorin, selecione um possível valor para $\sigma$ e use como translação para o Método da Potência. Repita o exercício para três valores diferentes de $\sigma$. (Calcule a cada iteração $k$ o valor de $\lambda¸ = x¸™Ax¸$.

\item Considere a matriz $A$ e o resultado do exercício anterior. Utilize o método da iteração inversa com translação usando como $\sigma$ o valor aproximado do autovalor anterior. O que se pode concluir.

\item Utilize o método de iteração inversa com o quociente de Rayleigh e calcule um autovalor de $A$. O que se pode concluir.

\item Considere a matriz $C$ e repita o três exercícios anteriores.

\item Defina uma matriz de Vandermonde. Qual o problema desta matriz. Dê um exemplo.

\item Para a seguinte tabela de valores, utilize interpolação polinomial e calcule o polinômio interpolador de ordem $2$.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline

 % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
 x    & 2 & 4 & 5 \\
 y(x) & 0 & 3 & 1 \\ \hline

\end{tabular}

Desenhe o gráfico do polinômio interpolador e os pontos da tabela.

\item Repita o exercício anterior usando a forma de Newton e diferenças divididas. Estime o erro na interpolação para o ponto $x=3$.

\item Repita o exercício anterior usando a forma de Lagrange.

\item Usando uma calculadora ou MATLAB, calcule o polinômio interpolador de ordem $4$.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline

 % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
 x    & 2 & 4 & 5 & 5.5 & 8\\
 y(x) & 0 & 3 & 1 & -1   & 2\\ \hline

\end{tabular}

Desenhe o gráfico do polinômio interpolador e os pontos da tabela. O que se pode concluir.

\item Repita o exercício anterior usando a forma de Newton e diferenças divididas. Estime o erro na interpolação para o ponto $x=3$.

\item Repita o exercício anterior usando a forma de Lagrange.

\item Usando a forma de Newton e diferenças simples, calcule o polinômio interpolador da seguinte tabela

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline

 % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
 x    & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
 y(x) & 0 & 3 & 1 & -1& 2\\ \hline

\end{tabular}

Desenhe o gráfico do polinômio interpolador e os pontos da tabela. O que se pode concluir. Estime o erro na interpolação para o ponto $x=3.5$.

\item Para a seguinte tabela de valores, utilize uma interpolação por splines cúbicas:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline

 % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
 x    & 2 & 4 & 5 \\
 y(x) & 0 & 3 & 1 \\ \hline

\end{tabular}

Desenhe o gráfico do polinômio interpolador e os pontos da tabela. Utilize as fórmulas para Splines do livro.