Raquels:webquest2
Introdução
Plano de aula utilizando o Geogebra:
- Alunos em duplas para discutir as alterações sofridas nos gráficos que será visualizado dentro do programa Geogebra;
- Tempo necessário: 3 períodos de aula;
- Objetivo: Entender as alterações dos gráficos do seno e cosseno para realização de exercícios da prova de vestibular da UFRGS.
Conteúdo envolvido
Função Trigonométrica: Seno e Cosseno
Procedimento
- Começarei a aula orientando os alunos a construir os gráficos do seno e do cosseno utilizando o Geogebra.
- trabalhar as situações a seguir, pedindo aos alunos que insiram os dados no Geogebra observando as mudanças no gráfico:
Situação 1: Consideremos a função seno cuja expressão é dada por y=f1(x)=sen(x)+k, onde k é uma constante real. Qual a ação da constante k no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y=sen(x)?
Fazer uma tabela e aplicar, supondo k=1
| x | sen(x) | sen(x)+k |
| 0 | 0 | 1 |
| 90º ou π | 1 | 2 |
| 270º ou 3π/2 | -1 | 0 |
Observar que o gráfico se altera na imagem
Situação 2: Vejamos agora a função seno cuja expressão é dada por y=f(x)=sen(x+k), onde k é uma constante real. Qual a ação da constante k no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y=sen(x)?
Fazer uma tabela e aplicar, supondo k=π/2
| x | sen(x) | (x+k) | sen(x+k) |
| 0 | 0 | π/2 | 1 |
| π/2 | 1 | π | -1 |
| π | 0 | 3π/2 | 0 |
| 3π/2 | -1 | 2π | 1 |
Observar que o gráfico se altera no domínio.
Situação 3: Vamos pensar agora numa função seno dada pela expressão f(x)=a.sen(x), onde a é uma constante real, sendo a diferente de 0, pois, se a=0 teremos uma função constante real nula.
Fazer uma tabela e aplicar, supondo a=2 (a>0)
| x | sen(x) | 2sen(x) |
| 0 | 0 | 0 |
| 90 ou π/2 | 1 | 2 |
| 3π/2 | -1 | -2 |
Fazer uma tabela e aplicar, supondo a=-4 (a<0)
| x | sen(x) | 4sen(x) |
| 0 | 0 | 0 |
| 90 ou π/2 | 1 | -4 |
| 3π/2 | -1 | 4 |
Situação 4: Finalmente podemos pensar numa função seno dada pela expressão f(x)=sen(bx), onde b é uma constante real não nula.
Fazer uma tabela e aplicar, supondo b=2 (b>0)
| x | 2x | sen(2x) |
| 0 | 0 | 0 |
| π/2 | π | 0 |
| π | 2π | 0 |
| π/4 | π/2 | 1 |
| 3π/4 | 3π/2 | -1 |
Fazer uma tabela e aplicar, supondo b=1/2 (0<b<1)
| x | x/2 | sen(x/2) |
| 0 | 0 | 0 |
| π | π/2 | 1 |
| 2π | π | 0 |
| 3π | 3π/2 | -1 |
| 4π | 2π | 0 |
Situação 5: Vamos pensar agora na função módulo. Vamos verificar a diferença entre y=|sen(x)| e y=sen|x|
Fazer uma tabela e aplicar conforme abaixo:
| x | 2sen(x) | modulo (sen(x)) |
| -π/2 | -2 | 2 |
| 0 | 0 | 0 |
| 90 ou π/2 | 2 | 2 |
| π | 0 | 0 |
| 270 ou 3π/2 | -2 | 2 |
Observar que a imagem passa a estar no intervalo [0;2]
Vejamos como fica o gráfico de y=2sen|x|
| x | 2sen(x) | x| |
| -3π/2 | 2 | -2 |
| -π/2 | -2 | 2 |
| 0 | 0 | 0 |
| π/2 | 2 | 2 |
| π | 0 | 0 |
| 3π/2 | -2 | -2 |
OBSERVAR QUE, DA MESMA FORMA QUE O SENO, PARA O COSSENO AS ALTERAÇÕES SÃO AS MESMAS, JÁ QUE sen(x+π/2)=cos(x)
Avaliação
Solicitar aos alunos que resolvam os exercícios abaixo com base nas conclusões que chegaram depois de trabalhar nos gráficos com o Geogebra:
01. (UFRGS 2005) O número de soluções da equação 2cos(x) que pertencem ao intervalo [-16π/3,16π/3] é: a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12.
02. (UFRGS 2008) Traçando-se os gráficos das funções definidas por e num mesmo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pode-se verificar que o número de soluções da equação é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 03. (UFRGS2009) Assinale a alternativa que pode representar o gráfico de a) b) c) d) e) 04. (UFRGS 2010) O Período da função definida por é a) . b) . c) . d) . e) . 05. (UFRGS 2011) Traçando os gráficos das funções e definidas por e , com variando no conjunto dos números reais de a , no mesmo sistema de coordenadas, o número de interseções é a) 7. b) 8. c) 9. d) 10. e) 12. 06. (UFRGS 2012) O número de interseções da função com o eixo das abscissas no intervalo é a) 10. b) 14. c) 21. d) 24. e) 27
