Dago:Numérico:Prova20122-A1

1. (20 pontos) Considere uma m\'{a}quina em ponto flutuante com nota\c{c}\~{a}o deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por \underline{corte} com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.

1. Qual o menor e maior expoente nessa m\'{a}quina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?
2. Represente $x=(5.2)_{10}$ em bin\'{a}rio nesta m\'{a}quina.
3. Sendo $\tilde{x}$ a representa\c{c}\~{a}o de $5.2$ nesta m\'{a}quina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta m\'{a}quina.
4. Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro?

2. (20 pontos) Considere a fun\c{c}\~{a}o $f(x)=x^2-x^3$ e uma m\'{a}quina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.

1. Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA m\'{a}quina.
2. Para quais $x$ a fun\c{c}\~{a}o $f(x)$ possui perda de d\'{\i}gitos significativos? Justifique a resposta.
3. Para quais $x$ a fun\c{c}\~{a}o $f(x)$ \'{e} mal condicionada?
4. A s\'{e}rie de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor n\'{u}mero de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatid\~{a}o m\'{a}xima para esta m\'{a}quina?

3. (10 pontos) Considere as fun\c{c}\~{o}es $f(x)=2 \sen(x)$ e $h(x)=x^2-1$.

1. Indique um intervalo de tamanho $1$ que cont\'{e}m uma intersec\c{c}\~{a}o entre $f$ e $h$.
2. Realize $3$ itera\c{c}\~{o}es do m\'{e}todo da bissec\c{c}\~{a}o. Qual o valor aproximado da intersec\c{c}\~{a}o e o erro estimado na sua resposta.

4. (15 pontos) Considere um m\'{e}todo de itera\c{c}\~{a}o de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.

1. Encontre uma fun\c{c}\~{a}o $g(x)$ que corresponda a solu\c{c}\~{a}o $2 \sen(x)-x^2=-1$.
2. Calcule 3 itera\c{c}\~{o}es do m\'{e}todo de ponto fixo para a $g$ acima.
3. O m\'{e}todo est\'{a} convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.

5. (15 pontos) Utilize o m\'{e}todo de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sen(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.

6. (20 pontos) Considere o polin\^{o}mio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.

1. As ra\'{\i}zes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq 1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as ra\'{\i}zes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?
2. Para que $q(z)$ seja divis\'{\i}vel por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?
3. Para quais valores de $c$ o polin\^{o}mio $q(z)$ ter\'{a} ra\'{\i}zes positivas n\~{a}o-nulas?
4. Para quais valores de $c$ o polin\^{o}mio $q(z)$ ter\'{a} ra\'{\i}zes complexas?