Usuário:Fabio

Problemas de análise úteis a quem estiver estudando para as provas de seleção. Quando eu conseguir carregar arquivos .pdf ou .tex, eu coloco as soluções.

Problema 1

Mostre o seguinte limite:

<math>\lim_{r\to\infty}\lim_{n\to\infty}\int_0^{1}n\left(1-x\right)^n\left(1-x^2\right)^{n^2}\ldots \left(1-x^r\right)^{n^r}dx=\int_0^1\exp\left(\frac{-y}{1-y}\right)dx</math>

Problema 2

Mostre que a sequência de funções <math>u_n(t):\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> definida recursivamente por

<math>\left\{ \begin{array}{l} u_0(t)=0 \\ u_{n+1}(t)=\displaystyle\int_{0}^t \left[1+u_n(s)^2\right]ds\end{array}\right.

</math> converge uniformemente em cada intervalo <math>[-a,a]</math> com <math>a \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)</math> mas não converge uniformemente em <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)</math>.

Problema 3

a) Mostre que <math>E\in\mathbb{R}^n</math> é um conjunto não necessariamente mensurável e se existe uma constante positiva <math>0<\rho<1</math> tal que:

<math>\mu^*(E\bigcap B(x,r)\leq \rho \mu^*(B(x,r))</math>

para toda bola de centro <math>x</math> e raio <math>r</math> positivo, onde <math>\mu^*</math> denota a medida exterior de Lebesgue, então <math>E</math> é mensurável e tem medida nula.

b) Mostre que um conjunto <math>E\in\mathbb{R}^n</math> é mensurável se e somente se <math>E\backslash int({E})</math> é mensurável, aqui <math>int(E)\,</math> denota o conjunto dos pontos interiores de E.

c) Mostre que se <math>\{B_\lambda,~\lambda\in\Lambda\}</math> é uma família (não necessariamente enumerável) de bolas fechadas de raio positivo então a união: <math>\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}</math> é mensurável.

d) Qual é propriedade geométrica relevante no item c que deve ser preservada para manter a mensurabilidade?