Polinômio de Lagrange

Em análise numérica, polinômio de Lagrange é usado para interpolação polinomial.

Definição

Dado um conjunto de k+1 pontos:

<math>(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)</math>

com todos x_j distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange é a combinação linear dos polinômios da base de Lagrange:

<math>p(x) := \sum_{j=0}^{k} y_j L_j(x)</math>,

com polinômios da base de Lagrange dados por:

<math>L_j(x) := \prod_{i=0, j\neq i}^{k} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{x-x_0}{x_j-x_0} \cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}} \frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}} \cdots \frac{x-x_{k}}{x_j-x_{k}}</math>

Prova

Procuramos uma função que seja um polinômio L(x) de grau menor ou igual a k, com

<math>L(x_j) = y_j \qquad j=0,\ldots,k</math>

O polinômio de lagrange é a solução para o problema de interpolação.

Como podemos comprovar

1. <math>\ell_j(x)</math> é um polinômio e tem grau k.
2. <math>\ell_i(x_j) = \delta_{ij},\quad 0 \leq i,j \leq k.\, </math>

Então, a função L(x) é um polinômio com grau menor ou igual a k e

<math>L(x_i) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x_i) = \sum_{j=0}^{k} y_j \delta_{ji} = y_i.</math>

Existe apenas uma única solução para o problema de interpolação, uma vez que a diferença de duas soluções seria um polinômio de grau menor ou igual a k e k+1 zeros. Isto somente é possível se a diferença for identicamente nula, então L(x) é o único polinômio que interpola os dados fornecidos.

Ideia Principal

Resolver um problema de interpolação leva a um problema de álgebra linear, no qual há a necessidade de se resolver um sistema matricial. Usando uma base mononial padrão para a interpolação, obtém-se a matriz de Vandermonde. Escolhendo-se outra base, tal como a base de Lagrange, chega-se a um sistema muito mais simples Matriz identidade = δ_i,j, que pode ser prontamente resolvido.

Veja também

• Quocientes de determinanteshe:אינטרפולציה#צורת לגראנז'