Mudanças entre as edições de "Problema da Cavidade"

Edição das 10h14min de 13 de junho de 2009

Problema da Cavidade

Para visualizarmos este problema podemos imaginar uma piscina cheia de água e um vento soprando sobre sua borda, o estudo fica em analisar o movimento da água dentro da piscina. A maioria das simulações numéricas envolvendo problemas da cavidade utilizam as equações de Navier Stokes. As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o movimento de fluidos. Como por exemplo:

<math>

(1) u_t +(u \cdot \nabla ) u =- \nabla p + (1/Re) \nabla^2 u </math>

<math>

(2) \nabla\cdot u=0 </math> onde <math>u=(u,v)</math> é a velocidade do fluido, <math>p</math> é a pressão e <math>Re</math> é número de Reynolds

condições de contorno

• lado oeste u=U, v=0
• lado sul u=v=0
• lado oeste u=v=0
• lado leste u=v=0

onde a velocidade do U é calculada a partir da equação <math> Re=UL/{\mu} </math> , onde <math>Re</math> é o número de Reynolds, <math>L</math> longitude característica do fluxo, e <math> \mu </math>=<math>1,5x10^{-5}</math> é a viscosidade do fluido.

Perfil de Velocidade na Região de Escoamento Completamente Desenvolvido

A forma do perfil de velocidade pode ser facilmente determinada para o escoamento laminar e incompressível de um fluido com propriedades constantes em um tubo circular na região completamente desenvolvida. Uma características importantes das condições fluidodinâmicas na região de escoamento completamente desenvolvido é que o componente radial da velocidade <math>v</math> e o gradiente do componente axial da velocidade,<math>\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) \,\! </math>,são iguais a zero qualquer que seja a posição. <math>v=0</math> e <math>\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=0 \,\! </math>

Assim, o componente axial da velocidade depende somente de r, ou seja, <math>u(x,r)=u(r) \,\!</math>. A dependência radial da velocidade axial pode ser obtida através da resolução da forma apropriada da equação do momento na direção x. Essa forma é determinada, em primeiro lugar, pelo reconhecimento de que para as condições da equação <math>v=0</math> e <math>\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=0 \,\! </math>, o fluxo líquido de momento é nulo em qualquer ponto no inteiro da região de escoamento completamente desenvolvido. dessa forma, a exigência de conservação do momento se reduz a um simples balanço entre as forças de cisalhamento e as forças de pressão no escoamento. O balanço de forças pode ser representado como

<math>(1) - \frac{d}{dr}(r \tau_{r})= r \frac{dp}{dx} \,\!

</math> e como <math>y=r_{0} - r \,\!</math>, a lei da viscosidade de Newton :<math>\left( \tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y}\right) \,\! </math>,(onde a constante <math> \mu \,\!</math> é o coeficiente de viscosidade), assume a forma <math>\tau_{r}=-\mu \frac{du}{dr} \,\!</math> e substituindo na equação (1) se torna

<math> (2) \frac{\mu}{r} \frac{d}{dr} \left(r \frac{du}{dr}\right)=\frac{dp}{dx}\,\!

</math> Uma vez que o gradiente de pressão na direção axial é independente de r, a Eq. (2) pode ser resolvida com duas integrações, onde na primeira integral obtem-se da seguinte forma

<math> \frac{\mu}{r} \frac{d}{dr} \left(r \frac{du}{dr}\right)=\frac{dp}{dx}\,\!

</math>

<math> \int \frac{d}{dr} \left(r \frac{du}{dr}\right)= \int \frac{r}{\mu}\frac{dp}{dx}dr \,\!

</math>

<math> r \frac{du}{dr}= \frac{1}{\mu} \left(\frac{dp}{dx}\right)\frac{r^2}{2} + C_1\,\!

</math> calculando a segunda integral

<math> \int \frac{du}{dr}= \int \left( \frac{1}{\mu} \left(\frac{dp}{dx}\right)\frac{r}{2} + \frac{C_1}{r}\right) dr \,\!

</math>

<math> u(r)= \frac{1}{\mu} \left(\frac{dp}{dx}\right)\frac{r^2}{4} + C_1 \log r + C_2\,\!

</math> As constantes de integração podem ser determinadas utilizando-se as condições de contorno <math>u(r_0)=0\,\!</math> e <math>\left.\frac{\partial {u}}{\partial {r}}\right|_{r=0} \,\! </math> que impõem, respectivamente, as exigências de ausência de deslizamento na superfície do tudo e de existência de simetria radial no eixo central do tubo. É fácil a tarefa de determinar as constantes de integração onde

<math>C_{1}=0 \,\!</math>

<math>C_{2}=-\frac{1}{4\mu} \left( \frac{dp}{dx} \right) \frac{{r_0}^2}{4} \,\!</math>

chegando-se a:

<math>u(r)=-\frac{1}{4 \mu}\left( \frac{dp}{dx}\right) r_{0}^2 \left[1- \left(\frac{r}{r_0}\right)^2 \right]

\,\!</math>

Assim, o perfil de velocidade na região de escoamento completamente desenvolvido é parabólico.