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com polinômios da base de Lagrange dados por: | com polinômios da base de Lagrange dados por: | ||
Edição das 09h45min de 10 de maio de 2013
Em análise numérica, polinômio de Lagrange é usado para interpolação polinomial.
Definição
Dado um conjunto de k+1 pontos:
- <math>(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)</math>
com todos xj distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange é a combinação linear dos polinômios da base de Lagrange:
- <math>p(x) := \sum_{j=0}^{k} y_j L_j(x)</math>
com polinômios da base de Lagrange dados por:
- <math>L_j(x) := \prod_{i=0, j\neq i}^{k} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{x-x_0}{x_j-x_0} \cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}} \frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}} \cdots \frac{x-x_{k}}{x_j-x_{k}}</math>
Prova
Procuramos uma função que seja um polinômio L(x) de grau menor ou igual a k, com
- <math>L(x_j) = y_j \qquad j=0,\ldots,k</math>
O polinômio de lagrange é a solução para o problema de interpolação.
Como podemos comprovar
- <math>\ell_j(x)</math> é um polinômio e tem grau k.
- <math>\ell_i(x_j) = \delta_{ij},\quad 0 \leq i,j \leq k.\, </math>
Então, a função L(x) é um polinômio com grau menor ou igual a k e
- <math>L(x_i) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x_i) = \sum_{j=0}^{k} y_j \delta_{ji} = y_i.</math>
Existe apenas uma única solução para o problema de interpolação, uma vez que a diferença de duas soluções seria um polinômio de grau menor ou igual a k e k+1 zeros. Isto somente é possível se a diferença for identicamente nula, então L(x) é o único polinômio que interpola os dados fornecidos.
Ideia Principal
Resolver um problema de interpolação leva a um problema de álgebra linear, no qual há a necessidade de se resolver um sistema matricial. Usando uma base mononial padrão para a interpolação, obtém-se a matriz de Vandermonde. Escolhendo-se outra base, tal como a base de Lagrange, chega-se a um sistema muito mais simples Matriz identidade = δi,j, que pode ser prontamente resolvido.
Predefinição:Esboço-matemática
