Mudanças entre as edições de "Dago:Numérico:Prova20122-A1"
De WikiLICC
m |
m |
||
| Linha 2: | Linha 2: | ||
1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$. | 1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$. | ||
| − | # Qual o menor e maior expoente nessa | + | # Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente? |
| − | # Represente $x=(5.2)_{10}$ em | + | # Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina. |
| − | # Sendo $\tilde{x}$ a | + | # Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina. |
# Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro? | # Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro? | ||
| − | 2. (20 pontos) Considere a | + | 2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$. |
| − | # Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA | + | # Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina. |
| − | # Para quais $x$ a | + | # Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta. |
| − | # Para quais $x$ a | + | # Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada? |
| − | # A | + | # A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina? |
| − | 3. (10 pontos) Considere as | + | 3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sen(x)$ e $h(x)=x^2-1$. |
| − | # Indique um intervalo de tamanho $1$ que | + | # Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$. |
| − | # Realize $3$ | + | # Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta. |
| − | 4. (15 pontos) Considere um | + | 4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$. |
| − | # Encontre uma | + | # Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sen(x)-x^2=-1$. |
| − | # Calcule 3 | + | # Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima. |
| − | # O | + | # O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$. |
| − | 5. (15 pontos) Utilize o | + | 5. (15 pontos) Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sen(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas. |
| − | 6. (20 pontos) Considere o | + | 6. (20 pontos) Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$. |
| − | # As | + | # As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq 1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$? |
| − | # Para que $q(z)$ seja | + | # Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$? |
| − | # Para quais valores de $c$ o | + | # Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas? |
| − | # Para quais valores de $c$ o | + | # Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas? |
Edição das 10h41min de 19 de novembro de 2012
__MATHJAX_DOLLAR__
1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.
- Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?
- Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina.
- Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina.
- Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025, 2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro?
2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.
- Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina.
- Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta.
- Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada?
- A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina?
3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sen(x)$ e $h(x)=x^2-1$.
- Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$.
- Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta.
4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.
- Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sen(x)-x^2=-1$.
- Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima.
- O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.
5. (15 pontos) Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sen(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.
6. (20 pontos) Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.
- As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq 1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?
- Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?
- Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas?
- Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas?
