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* Alunos em duplas para discutir as alterações sofridas nos gráficos que será visualizado dentro do programa Geogebra;
 
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* Tempo necessário: 3 períodos de aula;
 
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* Objetivo: Entender as alterações dos gráficos do seno e cosseno para realização de exercícios da prova de vestibular da UFRGS.
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Entender as alterações dos gráficos do seno e cosseno para realização de exercícios da prova de vestibular da UFRGS.
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Função Trigonométrica: Seno e Cosseno
  
 
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'''Observar que o gráfico se altera no domínio.'''
 
'''Observar que o gráfico se altera no domínio.'''
  
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'''Situação 3''': Vamos pensar agora numa função seno dada pela expressão f(x)=a.sen(x), onde a é uma constante real, sendo a diferente de 0, pois, se a=0 teremos uma função constante real nula.
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Fazer uma tabela e aplicar, supondo a=2 (a>0)
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Fazer uma tabela e aplicar, supondo a=-4 (a<0)
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'''Situação 4''': Finalmente podemos pensar numa função seno dada pela expressão f(x)=sen(bx), onde b é uma constante real não nula.
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Fazer uma tabela e aplicar, supondo b=2 (b>0)
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Fazer uma tabela e aplicar, supondo b=1/2 (0<b<1)
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'''Situação 5''': Vamos pensar agora na função módulo. Vamos verificar a diferença entre y=|sen(x)| e y=sen|x|
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Fazer uma tabela e aplicar conforme abaixo:
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| x || 2sen(x) || modulo (sen(x))
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'''Observar que a imagem passa a estar no intervalo [0;2]'''
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Vejamos como fica o gráfico de y=2sen|x|
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'''OBSERVAR QUE, DA MESMA FORMA QUE O SENO, PARA O COSSENO AS ALTERAÇÕES SÃO AS MESMAS, JÁ QUE sen(x+&pi;/2)=cos(x)'''
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=Avaliação=
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Solicitar aos alunos que resolvam os exercícios abaixo com base nas conclusões que chegaram depois de trabalhar nos gráficos com o Geogebra:
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'''01. (UFRGS 2005)''' O número de soluções da equação 2cos(x) que pertencem ao intervalo [-16&pi;/3,16&pi;/3] é:
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#b) 9.
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#c) 10.
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#d) 11.
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'''02. (UFRGS 2008)''' Traçando-se os gráficos das funções definidas por f(x)=2sen(x) e g(x)=16-x^2 num mesmo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pode-se verificar que o número de soluções da equação f(x)=g(x) é
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#a) 0.
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#b) 1.
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#c) 2.
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#d) 3.
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#e) 4.
  
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'''03. (UFRGS 2010)''' O Período da função definida por f(x)=sen(3x-&pi;/2) é
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#a) &pi;/2.
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#b) 2&pi;/3.
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#c) 5&pi;/6.
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#d)  &pi;.
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#e)  2&pi;.
  
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=Resultado=
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'''04. (UFRGS 2011)''' Traçando os gráficos das funções f e g definidas por f(x)=|sex(x)| e g(x)=|cos(x)|, com x variando no conjunto dos números reais de -2&pi; a 2&pi;, no mesmo sistema de coordenadas, o número de interseções é
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Então podemos concluir que a raiz quadrada de 73 é aproximadamente 8,544, pois 8,544*8,544=72,9999
+
#a) 7.
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#b) 8.
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#c) 9.
 +
#d) 10.
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#e) 12.
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'''05. (UFRGS 2012)''' O número de interseções da função f(x)=sen(5x) com o eixo das abscissas no intervalo [-2&pi;,2&pi;] é
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#a) 10.
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#b) 14.
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#c) 21.
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#d) 24.
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#e) 27

Edição atual tal como às 08h21min de 20 de junho de 2016

Introdução

Plano de aula utilizando o Geogebra:

  • Alunos em duplas para discutir as alterações sofridas nos gráficos que será visualizado dentro do programa Geogebra;
  • Tempo necessário: 3 períodos de aula;
  • Conteúdo trabalhado em turmas de 3º ano do ensino médio

Objetivo

Entender as alterações dos gráficos do seno e cosseno para realização de exercícios da prova de vestibular da UFRGS.

Conteúdo envolvido

Função Trigonométrica: Seno e Cosseno

Procedimento

  1. Começarei a aula orientando os alunos a construir os gráficos do seno e do cosseno utilizando o Geogebra.
  2. trabalhar as situações a seguir, pedindo aos alunos que insiram os dados no Geogebra observando as mudanças no gráfico:

Situação 1: Consideremos a função seno cuja expressão é dada por y=f1(x)=sen(x)+k, onde k é uma constante real. Qual a ação da constante k no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y=sen(x)?

Fazer uma tabela e aplicar, supondo k=1

x sen(x) sen(x)+k
0 0 1
90º ou π 1 2
270º ou 3π/2 -1 0

Observar que o gráfico se altera na imagem

Situação 2: Vejamos agora a função seno cuja expressão é dada por y=f(x)=sen(x+k), onde k é uma constante real. Qual a ação da constante k no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y=sen(x)?

Fazer uma tabela e aplicar, supondo k=π/2

x sen(x) (x+k) sen(x+k)
0 0 π/2 1
π/2 1 π -1
π 0 3π/2 0
3π/2 -1 2π 1


Observar que o gráfico se altera no domínio.

Situação 3: Vamos pensar agora numa função seno dada pela expressão f(x)=a.sen(x), onde a é uma constante real, sendo a diferente de 0, pois, se a=0 teremos uma função constante real nula.

Fazer uma tabela e aplicar, supondo a=2 (a>0)

x sen(x) 2sen(x)
0 0 0
90 ou π/2 1 2
3π/2 -1 -2

Fazer uma tabela e aplicar, supondo a=-4 (a<0)

x sen(x) 4sen(x)
0 0 0
90 ou π/2 1 -4
3π/2 -1 4

Situação 4: Finalmente podemos pensar numa função seno dada pela expressão f(x)=sen(bx), onde b é uma constante real não nula.

Fazer uma tabela e aplicar, supondo b=2 (b>0)

x 2x sen(2x)
0 0 0
π/2 π 0
π 2π 0
π/4 π/2 1
3π/4 3π/2 -1

Fazer uma tabela e aplicar, supondo b=1/2 (0<b<1)

x x/2 sen(x/2)
0 0 0
π π/2 1
2π π 0
3π 3π/2 -1
4π 2π 0

Situação 5: Vamos pensar agora na função módulo. Vamos verificar a diferença entre y=|sen(x)| e y=sen|x|

Fazer uma tabela e aplicar conforme abaixo:

x 2sen(x) modulo (sen(x))
-π/2 -2 2
0 0 0
90 ou π/2 2 2
π 0 0
270 ou 3π/2 -2 2

Observar que a imagem passa a estar no intervalo [0;2]

Vejamos como fica o gráfico de y=2sen|x|

x 2sen(x) x|
-3π/2 2 -2
-π/2 -2 2
0 0 0
π/2 2 2
π 0 0
3π/2 -2 -2

OBSERVAR QUE, DA MESMA FORMA QUE O SENO, PARA O COSSENO AS ALTERAÇÕES SÃO AS MESMAS, JÁ QUE sen(x+π/2)=cos(x)

Avaliação

Solicitar aos alunos que resolvam os exercícios abaixo com base nas conclusões que chegaram depois de trabalhar nos gráficos com o Geogebra:

01. (UFRGS 2005) O número de soluções da equação 2cos(x) que pertencem ao intervalo [-16π/3,16π/3] é:

  1. a) 8.
  2. b) 9.
  3. c) 10.
  4. d) 11.
  5. e) 12.

02. (UFRGS 2008) Traçando-se os gráficos das funções definidas por f(x)=2sen(x) e g(x)=16-x^2 num mesmo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pode-se verificar que o número de soluções da equação f(x)=g(x) é

  1. a) 0.
  2. b) 1.
  3. c) 2.
  4. d) 3.
  5. e) 4.

03. (UFRGS 2010) O Período da função definida por f(x)=sen(3x-π/2) é

  1. a) π/2.
  2. b) 2π/3.
  3. c) 5π/6.
  4. d) π.
  5. e) 2π.

04. (UFRGS 2011) Traçando os gráficos das funções f e g definidas por f(x)=|sex(x)| e g(x)=|cos(x)|, com x variando no conjunto dos números reais de -2π a 2π, no mesmo sistema de coordenadas, o número de interseções é

  1. a) 7.
  2. b) 8.
  3. c) 9.
  4. d) 10.
  5. e) 12.

05. (UFRGS 2012) O número de interseções da função f(x)=sen(5x) com o eixo das abscissas no intervalo [-2π,2π] é

  1. a) 10.
  2. b) 14.
  3. c) 21.
  4. d) 24.
  5. e) 27
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