Mudanças entre as edições de "Navier-Stokes"
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onde <math>\vec{u}</math> é a velocidade e ''p'' é a pressão. | onde <math>\vec{u}</math> é a velocidade e ''p'' é a pressão. | ||
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==Equação de Euler== | ==Equação de Euler== | ||
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onde <math>\rho_0 r</math> é o termo fonte volumétrico (que as vezes é descartado). | onde <math>\rho_0 r</math> é o termo fonte volumétrico (que as vezes é descartado). | ||
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==Adimensionalizando== | ==Adimensionalizando== | ||
Definindo | Definindo | ||
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==Números adimensionais== | ==Números adimensionais== | ||
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| + | <math> Re=\frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu}\;\!</math> | ||
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Número de Richardson | Número de Richardson | ||
Edição das 23h20min de 1 de julho de 2009
Índice
Equação do movimento
A taxa de variação do momentum de uma região material \Omega(t) é igual a soma das forças aplicadas a esta região.
<math>
\frac{d}{dt} \int_{\Omega(t)} \rho \vec{v} dV = \int_{\partial\Omega(t)} \vec{t} dS + \int_{\Omega(t)} \rho \vec{f} dV
</math>
onde <math>\vec f</math> são as forças de corpo e <math>\vec t</math> são as forças de contato de superfície.
O princípio de Cauchy implica que a forças de contato (representadas pelo tensor stress t) são
<math>
\vec{t}(\vec{x},\vec{n}) = \sigma(\vec{x}) \vec{n}
</math>
onde <math>\vec{n}</math> é normal a <math>\partial\Omega(t)</math> em <math>\vec{x}</math>.
Utilizando o teorema do transporte, conservação da massa, princípio de Cauchy e teorema da divergência, a equação acima torna-se a equação do movimento
<math>
\rho \frac{D\vec{u}}{Dt} = \nabla \cdot \sigma + \rho \vec{f}
</math>
Utilizando a relação constitutiva
<math>
\sigma = -p I + 2 \mu d
</math>
obtém-se
<math>
\rho \frac{D\vec{u}}{Dt} = -\nabla p + \nabla\cdot \{\mu[\nabla \vec{u}+(\nabla \vec{u})^T]\} + \rho \vec{f}
</math>
Com viscosidade constante
<math>
\rho \frac{D\vec{u}}{Dt} = -\nabla p + \mu \Delta \vec{u} + \rho \vec{f}
</math>
ou
<math> \begin{align}
\vec{u}_t + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} &= -\nabla p +\displaystyle\frac{1}{Re}\nabla^2 \vec{u} \\
\nabla \cdot u &= 0
\end{align} </math>
onde <math>\vec{u}</math> é a velocidade e p é a pressão.
Equação de Euler
Negligenciando os termos fontes, se <math>Re</math> tende a infinito obtemos
<math> \frac{D\vec{u}}{Dt} = -\nabla p </math>
e se <math>Re</math> tende a 0 (e multiplicando por <math>Re</math>) obtemos a equação de Stokes
<math> \frac{d\vec{u}}{dt} = -\nabla p + \Delta \vec{u} </math>
Convecção Térmica
Usando aproximação de Boussinesq e a equação de estado
<math>
\rho = \rho_0 [1-\alpha(T-T_0)]
</math>
onde <math>\alpha</math> é o coeficiente de expansão volumétrica e <math>\rho_0=\rho(T_0)</math> e <math>T_0</math> uma temperatura de referência.
obtemos a equação de Boussinesq,
<math> \begin{align}
\rho_0 \frac{D\vec{u}}{Dt} &= -\nabla p + \mu \Delta \vec{u} + \rho_0 [1-\alpha(T-T_0)] \\
\rho_0 c\frac{DT}{Dt} &= \nabla\cdot(k \nabla T) + \rho_0 r + \Phi \\
\nabla \cdot u &= 0
\end{align} </math>
onde <math>\rho_0 r</math> é o termo fonte volumétrico (que as vezes é descartado).
Adimensionalizando
Definindo
<math> \vec{x}':=\vec{x}/L\;\!</math>
<math> \vec{u}':=\vec{u}/U\;\!</math>
<math> t' :=tU/L\;\!</math>
<math> p' :=(p-\rho_0 \vec{g} \cdot\vec{x})/(\rho_0U^2)\;\!</math>
<math> T':=(T-T_0)/(T_1-T_0)\;\!</math>
Números adimensionais
Número de Reynolds
<math> Re=\frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu}\;\!</math>
Número de Richardson
<math> Ri := \alpha g \delta T L / U^2\;\!</math>
Número de Péclet
<math> Pe:=UL / \kappa \;\!</math>
Número de Brinkman
<math> Br := \mu U^2 / (k \delta T) \;\!</math>
obtendo a equação adimensional
<math> \begin{align}
\frac{D\vec{u}}{Dt} &= -\nabla p + Re^{-1} \Delta \vec{u} -Ri \vec{g}/||\vec{g}||T \\
\frac{DT}{Dt} &= Pe^{-1}(\Delta T + Br \Phi) \\
\nabla \cdot u &= 0
\end{align} </math>
Mudança de variáveis primitivas
colocar a mudança
