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__MATHJAX_DOLLAR__

1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.
#  Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?
#  Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina.
#  Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina.
#  Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025,  2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro? 

2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.
#  Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina.
#  Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta.
#  Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada?
#  A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina?

3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sin(x)$ e $h(x)=x^2-1$.
#  Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$.
#  Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta.

4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.
#  Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sin(x)-x^2=-1$.
#  Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima.
#  O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.




5. (15 pontos)  Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sin(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.



6. (20 pontos)  Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.
#  As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq  1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?
#  Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?
#  Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas?
#  Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas?


== Solução ==
1. (20 pontos) Considere uma máquina em ponto flutuante com notação deslocada (BIAS) para o expoente, um bit extra para o sinal da mantissa e arredondamento por corte com $F=(\beta, |M|,|E|,BIAS)=(2,5,5,8)$.
#  Qual o menor e maior expoente nessa máquina, $E_{MIN}$ e $E_{MAX}$ respectivamente?
#:  $E_{MIN}=(00001)_2= -7$ e $E_{MAX}=(11110)_2=22$
#  Represente $x=(5.2)_{10}$ em binário nesta máquina.
#: $1.01001 * 2^{2}= (0|01010|01001)$
#  Sendo $\tilde{x}$ a representação de $5.2$ nesta máquina, descubra o menor valor de $h$ tal que $\tilde{x}+h$ seja diferente de $\tilde{x}$. Represente $h$ nesta máquina.
#: $h=1.00000 \times 2^(-3)= (0|00101|00000)$
#  Considere $V= \{2^{-9}, 0.25, 0.3, 3, \pi, 1024, 1025,  2048, 4096 \}$. Quais elementos de $V$ podem ser representados em $F$ sem erro? 
#: $\{0.25, 3, 1024, 2048, 4096 \}$ 

2. (20 pontos) Considere a função $f(x)=x^2-x^3$ e uma máquina $F=(\beta, |M|,E_{MIN},E_{MAX})=(10,4,-19,18)$.
#  Calcule $f(1.000\times 10^{-5})$ e $f(1.001\times 10^{0})$ NESTA máquina.
#: $f(1.000\times 10^{-5})=1.000 \times 10^{-10}$ e $f(1.001\times 10^{0})=1.000\times 10^{-3}$ 
#  Para quais $x$ a função $f(x)$ possui perda de dígitos significativos? Justifique a resposta.
#: Para $x$ próximo de 1, $|x-1|<tol$, ou seja $ 1-tol<x<1+tol$
#  Para quais $x$ a função $f(x)$ é mal condicionada?
#: $|\frac{2-3x}{1-x}|>C$, quando $x \approx 1$.
#  A série de Taylor de $e^x= 1 +x+ \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} ...$ Qual o menor número de termos que devem ser somados para obtermos o valor de $e$ com exatidão máxima para esta máquina?
#: 7

3. (10 pontos) Considere as funções $f(x)=2 \sin(x)$ e $h(x)=x^2-1$.
#  Indique um intervalo de tamanho $1$ que contém uma intersecção entre $f$ e $h$.
#: $[-1,0]$
#  Realize $3$ iterações do método da bissecção. Qual o valor aproximado da intersecção e o erro estimado na sua resposta.
#: $x\approx -0.4375$ com $|erro|\approx 0.0625$

4. (15 pontos) Considere um método de iteração de ponto fixo $x_{n+1}=g(x_n)$.
#  Encontre uma função $g(x)$ que corresponda a solução $2 \sin(x)-x^2=-1$.
#: Ex.: $g(x)=\sqrt(2 \sin(x)+1$
#  Calcule 3 iterações do método de ponto fixo para a $g$ acima.
#: Com esta $g$, e $x_0=1$, temos $x_3 \approx 1.036166481$
#  O método está convergindo? baseie sua resposta em $g'(x)$.
#: Sim, pois $|g'(x_3)|<1$.

5. (15 pontos)  Utilize o método de Newton para aproximar uma raiz de $F(x)=2 \sin(x)-x^2+1$ com 3 casas decimais corretas.
#: $x\approx 0.423028...$


6. (20 pontos)  Considere o polinômio $q(z)=z^3+z^2+z+c$.
#  As raízes de $q(z)$ satisfazem $|z| \leq  1 + \frac{\max_{0\leq k<n} |a_k|}{|a_n|}$. Para quais $c$ podemos garantir que as raízes de $q$ satisfazem $|z|\leq 3$?
#: $-2 \leq c \leq 2$
#  Para que $q(z)$ seja divisível por $(z-2)$, qual deve ser o valor de $c$?
#: $c=-14$
#  Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes positivas não-nulas?
#: $d<0$
#  Para quais valores de $c$ o polinômio $q(z)$ terá raízes complexas?
#: Para qualquer $d$.